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Tatiana ROQUE

Ancien(ne) Directeur de programme Brésil  du 01/07/2001  au 30/06/2007

Direction de programme : La pensée des mathématiques et l'envol des problèmes

Résumé : Les mathématiques ont une réalité absolument propre, indépendante de la subjectivité du mathématicien en même temps que des états de chose. Ce réel singulier, nous l'approcherons selon deux axes de recherche dont le premier aura trait aux philosophies des mathématiques de Jean Cavaillès et Albert Lautman mises à l’épreuve des théories mathématiques contemporaines comme, par exemple, celle des systèmes dynamiques plus connue sous le registre de la théorie du chaos. Aussi une investigation de ce genre suivra-t-elle d'emblée une démarche historique, organisée autour de textes scientifiques témoignant au mieux des avancées contemporaines. L'exposé historique et la lettre des mathématiciens laisseront entrevoir les sinuosités de la pensée mathématique que l'exposition logique tend peut-être à masquer : histoire dont les idées mathématiques toujours se détournent, de sorte qu'il nous paraît souhaitable de revenir à la création mathématique en son devenir concret. En effet, comme le dit Cavaillès à propos des entités mathématiques, « comprendre est en attraper le geste, et pouvoir continuer » ; continuation qui se poursuit par le déploiement de nouveaux gestes pour fonder des dynasties de problèmes. D'où la puissance fondatrice d'un geste, devenu un concept à partir de l'oeuvre de Gilles Châtelet, dont nous nous servirons également, pour dire, par exemple, que la section de Poincaré est le geste fondamental qui nous donnera 1'allure des solutions d’une équation différentielle, lorsque la dimension du problème augmente.
Travaillant sur des théories mathématiques précises, il s'agira de dégager l'ensemble des problèmes qu’elles viennent à la fois poser et résoudre, en identifiant leurs moments créateurs. Des problèmes qui sont le seul moteur des mathématiques, disciplines dont la consistance ne saurait s'épuiser ni dans la confrontation avec l'empirique ni dans l'épreuve intersubjective de la conscience d'un mathématicien on d'une communauté scientifique, mais bel et bien dans quelque chose comme une philosophie propre. Qu'est-ce qui concerne alors la philosophie dans la création mathématique ? Nous pensons qu'il s'agit précisément de la puissance génétique des problèmes. Lautman affirmait que le seul élément a priori des mathématiques est donné par l'expérience supérieure de certains problèmes, antérieure et indépendante des solutions. À partir de cette question se dessine notre deuxième axe de travail, qui cherchera à dégager le profil et l'espacement propres à la catégorie de problème, en nous inspirant, au plus près, de la philosophie de Gilles Deleuze. On notera ce point essentiel chez Deleuze : affirmer qu'à toute idée, dont l'objet est indéterminé, doit correspondre un principe de déterminabilité. Le virtuel est de nature problématique, et le problématique est à la fois le problème et les conditions du problème, lesquelles rendent sa solution possible. Il est, en effet, d'une extrême importance de souligner que la solution ne recouvre jamais un problème. Les trois postulas, pour ainsi dire, de la notion de problème sont, en fait, inspirés de Lautman : la différence de nature par rapport à sa solution ; l’immanence dans sa solution ; et la transcendance vis-à-vis de toute solution possible. Faire des mathématiques ne consiste pas seulement à résoudre des problèmes mais bien plus à les déterminer.
Il est pourtant un point où la pensée mathématique et la philosophie bifurquent : les mathématiques concernent forcément des principes de solubilité, tandis que si, longeant l'histoire des mathématiques, on se propose de dégager des schémas de genèse, incarnant de véritables « drames logiques » , qui se jouent au sein des théories, s'impose nécessairement une conception philosophique des idées en excès sur l'efficacité des solutions. Une idée comme problème est une multiplicité, une variété dans le sens riemannien. Cette proposition de Deleuze a été l'un des objets principaux des questions posées par Alain Badiou qui, en deux mots, consistent à dire que la multiplicité, chez Deleuze, est menacée par une nouvelle puissance de l'Un. C'est Pour penser cette divergence séminale que nous suivrons la discussion entre Deleuze et Badiou, autour des notions mathématiques de multiplicité et d'ensemble de sorte que les deux axes de travail proposés en relanceront un troisième pris, justement, sur l'envol des multiplicités vis-à-vis de tout ensemble.